西三数学サークル通信102号-2

ベクトル・・・・・・・・・・・・・・・・・・亀井（岐阜東高校）

（�T）ベクトルスカート法

（�U）通分スカート法

小町虫食い算・・・・・・・・・・・・・・・・・・竹中(岡崎工業高校)

問題１　○に１〜９の数を1回ずつ使って、等式を完成させなさい。
　　　　　　　 ○ ○ ○　　　　例　　 ４５２
　　　　　 ＋）○ ○ ○　　　　　　＋）１８７
　　　 　　　　○ ○ ○　　　　　　　　 ６３９
　これを、小町虫食い算といいます。

問題２　小町虫食い算を
　　　　　　Ａ Ｂ Ｃ
　　　　＋）Ｄ Ｅ Ｆ
　　　　　　Ｇ Ｈ Ｉ　　　とするとき、Ｇ＋Ｈ＋Ｉは必ず18になることを証明せよ。

【証明】
A B C + D E F + G H I ≡　0　(mod 9)　［A+B+…+I=45]と
A B C + D E F ≡ G H I (mod 9) とから、
G H I ≡ 0 (mod 9)。
G + H + I が27以上はありえないから、9ではないことを示せばよい。
G + H + I = 9 となる集合{G,H,I}は、{6,2,1},{5,3,1},{4,3,2}の3とおりしかない。

どの場合も虫食い算の解にはならないことを以下に示す。

{G,H,I}={6,2,1}とすると、A+D≧3+4　だからA B C + D E F > 700 となってしまう。
{G,H,I}={5,3,1}とすると、A+D≧2+4　だからA B C + D E F > 600 となってしまう。
{G,H,I}={4,3,2}とすると、A+D≧1+5　だからA B C + D E F > 600 となってしまう。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（この証明は秋松氏による）

【具体例】
Ｇ＋Ｈ＋Ｉ＝18　となるのは、
�@　９，８，１　　�A　９，７，２　　�B　９，６，３　　�C　９，５，４
�D　８，７，３　　�E　８，６，４　　�F　７，６，５　の7通りだから、
例
�@　　　２３５　　�A　　　６５４　　�B　　　２４５　　�C　　　２１６
　 　＋）７４６　　　　＋）３１８　　　　 ＋）７１８　　　　＋）７３８
　　　　 ９８１　　　　　　９７２　　　　　　　９６３　　　　　　９５４

�D　　　２１４　　�E　　　２９１　　�F　　　２１９
　 　＋）６５９　　　　＋）５７３　　　　 ＋）３４８
　　　　 ８７３　　　　　　８６４　　　　　　　５６７　　などがある。